Metode Pembuktian Matematika ada 4 Yaitu :
1.Pembuktian Langsung
2.Pembuktian Tidak Langsung
3.Pembuktian Dengan Kontradiksi
4.Induksi Matematika
1.Pembuktian Langsung
Metode ini didasarkan pada proposisi bahwa: Jika kita misalkan (asumsikan) P bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari p; kita harus membuktikan bahwa q benar.Contoh 1
Diketahui bahwan bilangan ganjil Karenan bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulat n2= (2k+1)2= 4k2+ 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil Jadi n2 bilangan ganjil
Contoh 2
Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa AB + AC > MB + MC
Pembahasan :
Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC.
Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC.
Maka kita peroleh:
AB + AC = AB + AN + NC > BN + NC = BM + MN + NC > BM + MC
2. Pembuktian Tidak Langsung
Metode pembuktian tidak langsung dikenal juga metode kontrapositif.Perhatikan bahwa pernyataan ini p → q ≡ ~q → ~p
Oleh karena itu, kita akan memahami bahwa metode ini didasarkan pada proposisi: jika kita misalkan ~q bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari ~ q kita harus membuktikan bahwa ~p Benar
Oleh karena itu, kita akan memahami bahwa metode ini didasarkan pada proposisi: jika kita misalkan ~q bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari ~ q kita harus membuktikan bahwa ~p Benar
Contoh 1
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisi nya.Misalnya :p = n2 bilangan ganjil q = n bilangan ganjil
Apakah p →q benar ?Kita akan periksa apakah ~q →~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilanga ngenap, sehingga n dinyatakan dengan sebagain = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2= (2k)2= 4k2= 2(2k2). Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwan bukan bilangan ganjil BENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR. Jadi implikasi p →q benar, ini berarti n2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil
3.Pembuktian dengan Kontradiksi
Metode ini hampir sama dengan metode pembuktian tidak langsung, akan tetapi terdapat perbedaan yang cukup mendasar. Untuk membuktikan bahwa p →q benar dengan metode kontradiksi maka:
>> Kita andaikan bahwa ingkaran dari p →q adalah benar. Dengan kata lain bahwa kita mengandaikan bahwa p dan ~q adalah sesuatu yang benar
>> Dari pengandaian tersebut, kita harus memunculkan suatu kontradiksi atau suatu fakta yang bertentangan dengan suatu fakta lain yang sebelumnya telah dikatahui kebenarannya
Contoh 1
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2= (2k)2n2= 4k2n2= bilangan bulat genap (~p) Terjadilah suatu kontradiksi: yang diketahui p benar, sedang dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
4.Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.
Contoh 1
Buktikan bahwa: “1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n” .
penjelasan :
Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2,(a).
P(1) benar,sebab1 = 1(b).
Apabila P(k) benar, yaitu apabila; 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) = k2,
maka1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1.
= k2+ 2k + 1= (k + 1)2 Sehingga P(k+1) benar
