Soal dan Pembahasan Transformasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi Dengan Perhitungan Matriks

 Transformasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi Dengan Perhitungan Matriks

Contoh soal No 1. 

Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...

PEMBAHASAN:
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos{180}^{\circ }& -sin{180}^{\circ }\\ sin{180}^{\circ }& cos{180}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x   →  x = -x'
y' = -y   →  y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
 y' = 2x' - 1

Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1

Contoh Soal no 2. 

Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 5 oleh dilatasi dengan pusat 0 dan faktor skala 2 adalah ...

PEMBAHASAN:
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = 2x   →  x = $\frac{1}{2}$x'
y' = 2y   →  y = $\frac{1}{2}$y'

Substitusi x dan y ke persamaan x² + y² = 5
($\frac{1}{2}$x')² + ($\frac{1}{2}$y')² = 5
$\frac{1}{4}$(x')² + $\frac{1}{4}$(y')² = 5   (kali 4)
(x')² + (y')² = 20

Contoh Soal No 3.

Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...

PEMBAHASAN:
Searah jarum jam berarti θ = -90°

Ingat :
sin (-θ) = - sin θ
cos (-θ) = cos θ

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(-{90}^{\circ })& -sin(-{90}^{\circ })\\ sin(-{90}^{\circ })& cos(-{90}^{\circ })\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)

Contoh Soal No 4.

Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = -x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah...
a.    y + 2x – 3 = 0
b.    y – 2x – 3 = 0
c.    2y + x – 3 = 0
d.    2y – x – 3 = 0
e.    2y + x + 3 = 0

PEMBAHASAN:
-    Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah: 
-    Matriks refleksi terhadap garis y = -x adalah: 
Mari kita kerjakan soal di atas:
Pada soal di atas diketahui bahwa garis y = 2x – 3 di refleksikan terhadap garis y = -x, berarti T1 = dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = x berarti T2 = 

Maka, transformasinya adalah:

Jadi, bayangan dari y = 2x – 3 adalah –y = -2x – 3 atau y – 2x - 3 = 0

Contoh Soal No 5.

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks , kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ...
a.    x + y – 3 = 0
b.    x – y – 3 = 0
c.    x + y + 3 = 0
d.    3x + y + 1 = 0
e.    x + 3y + 1 = 0

PEMBAHASAN:
-    matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah: 
-    Transformasi T1 lalu dilanjutkan transformasi T2 maka matriks transformasinya adalah T2 o T1
Pada soal diketahui T1 =  dan T2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, berarti T2 =  

Sehingga matriks transformasinya:

Dari hasil transformasi di atas didapatkan:
x’ = x + 2y
x = x’ – 2y
dan
y’ = -y
y = -y’
Maka kurva y = x + 1 memiliki bayangan:
-y’ = (x’ - 2y) + 1
-y’ = x’ -  2y + 1
-y’ = x’ - 2(-y’) + 1
-y’ = x’ + 2y’ + 1
x’ + 3y’ + 1 = 0
atau
x + 3y + 1 = 0
JAWABAN: E

Sc : 

https://www.ajarhitung.com/2017/08/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang.html

https://smatika.blogspot.com/2017/11/matriks-transformasi-geometri.html