NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Egha Ramdhani (10)

XI IPS 3

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda positif, atau $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).
2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda negatif, atau $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).
3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda netral, atau $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu naik pada interval $I$.
2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu turun pada interval $I$.
3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (tetap/diam) pada interval $I$.
4. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$.
5. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi $f\left(x\right)$ berikut.

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$ naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$ turun pada saat $a<x<b$.

Contoh soal

No. 1 Fungsi $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ dengan $0<x<2\pi$ naik pada interval $\cdots \cdot$
A. $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ atau $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$
B. $\frac{2\pi }{3}<x<\pi$
C. $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$
D. $0<x<\pi$ atau $\pi <x<2\pi$
E. $0<x<2\pi$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$.
Turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Grafik fungsi $f$ akan naik ketika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$, yaitu $\sin 2x>0$.
Pembuat nol adalah $\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \}$.
Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivan dengan uji titik.

Ini berarti, $\sin 2x>0$ terpenuhi ketika $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$. Jadi, $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ akan naik pada interval $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$, seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.
(Jawaban C)

No 2. Grafik fungsi $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$ akan selalu naik dalam interval $x<-4$ atau $x>1$. Nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan

Diketahui $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$ dan $L\left(x\right)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+4)(x-1)& >0& & \\ x^2-x+4x-4& >0& & \\ x^2+3x-4& >0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $L\left(x\right)$ adalah $L^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+18bx-24$.
Grafik fungsi $L\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $L^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+18bx-24& >0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6& & \\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0& & (\cdots 2)\end{array}$
Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $\left(1\right)$.
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2+3x-4& >0\\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{a}{2}& =1\Rightarrow a=2\\ \bullet 3b& =3\Rightarrow b=1\end{array}$
Jadi, nilai $a+b=2+1=3$
(Jawaban C)

No 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ hanya turun pada interval $-1<x<5$. Nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $-9$                   E. $21$
B. $-15$                  D. $9$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ dan $f\left(x\right)$ selalu turun di $-1<x<5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x+1)(x-5)& <0& & \\ x^2-5x+x-5& <0& & \\ x^2-4x-5& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cccc}3x^2+2ax+b& <0& & \\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3& & \\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-4x-5& <0\\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{2}{3}a& =-4\Rightarrow a=-6\\ \bullet \frac{1}{3}b& =-5\Rightarrow b=-15\end{array}$
Jadi, nilai $a+b=-6+(-15)=-21$
(Jawaban A)

Daftar pustaka :

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/