Blog Matimatika: PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN CONTOH SOAL

Senin, 04 Januari 2021

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN CONTOH SOAL

PERTUMBUHAN

Pertumbuhan merupakan kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Jika jumlah awal adalah J_0 dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi J_n:

J_n = J_0(1+r)^n

Contoh, jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

J_n = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155\ jiwa

Contoh soal

Banyak penduduk kota A setiap tahun meningkat 2% secara eksponensial dari tahun sebelumnya. Tahun 2013 penduduk di kota A sebanyak 150.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2014 dan 2023!

Jawab:

Banyak penduduk pada tahun 2014 (artinya 1 tahun setelah 2013, maka n = 1):

Banyak penduduk pada tahun 2023 (n=2023-2013=10):

pertumbuhan

BUNGA TUNGGAL

Bunga Tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi (tetap) dari awal periode sampai akhir periode.

Modal adalah jumlah dari yang digabungkan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum digabungkan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang digabungkan. Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam presentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+n \cdot b)$

Contoh Soal

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….
$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$
Jika modal awal sebesar $M_0$ , dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah
$b = \frac{B}{M_0} \times 100 \%$
Contoh Soal:
Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah
$b = \frac{50000}{1000000}\times 100 \% = 5 \%$
BUNGA MAJEMUK

Bunga Majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal di akumulasi bunga pada periode sebelumnya. Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap periode.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:
$M_n = M_0(1+b)^n$

Contoh soal

Modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga majemuk 2% per tahun. Pada permulaan tahun ketiga, modal itu menjadi?
Pembahasan :
$M_n = M_0(1+b)^n$
$M_0 = 10.000.000(1 + 0,02)^2$ (n = 2, karena awal tahun ke-3 sama dengan akhir tahun ke-2)
$M_n = 10.000.000(1,02)^2$
$M_n = 10.404.000,00$

BUNGA ANUITAS

Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:
Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran
Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :
$Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang$
Jika utang sebesar $M_o$ mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :
Besar bunga pada akhir periode ke-n
$B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A$
Besar angsuran pada akhir periode ke-n
$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$
Sisa hutang pada akhir periode ke-n
$M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$
Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar $M_0$ dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah :
$A = \frac{b (M_0)(1 + b)^n}{(1 + b)^n - 1}$

Contoh Soal
Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran adalah?
$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$
$A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)$

peluruhan
Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) di antaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga barang.
An = A ( 1 - r)n
An = nilai pada periode ke-n
A = nilai awal
r = prosentase peluruhan
n = periode peluruhan

Contoh soal

Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun?
Diketahui:
harga mobil (M)= Rp 30.000.000,00,
penyusutan (i) = 10 = 0,1,
Waktu (n) = 4 tahun
Harga mobil setelah 4 tahun dapat dihitung sebagai berikut:
Mn= M (1 + i )n
M4 = 30.000.000 (1 - 0,1)4
= 30.000.000(0,9)4
= 30.000.000(0,6561)
= 19.683.000
Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,002.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)