INTEGRAL TENTU BERSAMA SIFATNYA BERSERTA CONTOH SOALNYA

 Egha Ramdhani (10)

XI IPS 3

Rumus Integral

Berikut ini terdapat beberapa rumus integral, terdiri atas:

---

1. Rumus Integral Tentu

Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pada selang tutup (a,b) maka integral tentu f dari a sampai b dinyatakan oleh : 

Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan  disebut tanda integral tentu.

Berikut sifat-sifat integral tertentu  :

•   f (x) dx = 0
•   f (x) dx = – f (x) dx
•   k dx = k (b – a)
•   k f(x) dx = kf (x) dx
•   [f (x) ± g (x)] dx =f (x) dx±g (x) dx
•   f (x) dx=f (x) dx +f (x) dx; a<b<c
•   f (x) dxg (x) dx; jika f (x) dx ≥ g (x) dx
•   f (x) dx ≥ 0, jika f (x) ≥ 0

Contoh Soal 

1.Nilai dari 

${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

2.Nilai dari 

${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{332}{105}$                   D. $\frac{372}{105}$
B. $\frac{342}{105}$                   E. $\frac{392}{105}$
C. $\frac{352}{105}$

Pembahasan

Jabarkan terlebih dahulu bentuk $(-x^3+2x-1{)}^2$ menggunakan $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, yang dalam hal ini $a=-x^3$ dan $b=2x-1$.
$\begin{array}{cc}& (-x^3+2x-1{)}^2\\ & =(-x^3{)}^2+2(-x^3\left)\right(2x-1)+(2x-1{)}^2\\ & =x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x& ={\int }_{-1}^1(x^6-4x^4+2x^3+4x^2-4x+1)\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{7}{x}^7-\frac{4}{5}{x}^5+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x]}_{-1}^1\\ & =\left(\frac{1}{7}\right(1{)}^7-\frac{4}{5}(1{)}^5+\frac{1}{2}(1{)}^2+\frac{4}{3}(1{)}^3-2(1{)}^2+\left(1\right))-\left(\frac{1}{7}\right(-1{)}^7-\frac{4}{5}(-1{)}^5+\frac{1}{2}(-1{)}^2+\frac{4}{3}(-1{)}^3-2(-1{)}^2+(-1))\\ & =(\frac{1}{7}-\frac{4}{5}+\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-2+1)-(-\frac{1}{7}+\frac{4}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-2-1)\\ & =\frac{2}{7}-\frac{8}{5}+0+\frac{8}{3}+0+2\\ & =\frac{30}{105}-\frac{168}{105}+\frac{280}{105}+\frac{210}{105}\\ & =\frac{352}{105}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^1(-x^3+2x-1{)}^2\text{d}x=\frac{352}{105}$
(Jawaban C)

3.Nilai dari 

${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

4.Jika 

${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

5.Nilai 

$a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

Daftar Pustaka :

https://www.dosenpendidikan.co.id/contoh-soal-integral/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-integral-tentu/