LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Egha Ramdhani (10)

XI IPS 3

1.Daerah 

$D$ terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola $y=x^2$, parabola $y=4x^2$, dan garis $y=4$. Volume benda putar yang terjadi bila $D$ diputar terhadap sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\pi$                  C. $6\pi$                  E. $20\pi$
B. $4\pi$                  D. $8\pi$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$ yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0,4]$.
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap ${360}^{\circ }$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{cccc}{x}^2& =y& & \left(x\text{kanan}\right)\\ 4x^2& =y\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}y& & \left(x\text{kiri}\right)\end{array}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{1}{4}y)\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\int }_0^{4}y\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =\frac{3}{8}\pi (4^2-0^2)\\ & =6\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $6\pi$ satuan volume.
(Jawaban C)

2.Volume daerah yang dibatasi oleh kurva 

$y=x^2+1$ dan $y=x+3$ jika diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $\frac{117}{5}\pi$                        D. $\frac{7}{5}\pi$
B. $\frac{107}{5}\pi$                        E. $\frac{4}{5}\pi$
C. $\frac{105}{5}\pi$

Pembahasan

Titik potong dari kurva $y=x^2+1$ dan $y=x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2+1& =x+3\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=2$ atau $x=-1$.
Sketsakan grafik dari $y=x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1,2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1$.
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu-$X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^2(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x+3{)}^2-(x^2+1{)}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2\left(\right(x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1\left)\right)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^2(-x^4-x^2+6x+8)\text{d}x\\ & =\pi {[-\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+8x]}_{-1}^2\\ & =\pi [-\frac{1}{5}(2^5+(-1{)}^5)-\frac{1}{3}(2^3-(-1{)}^3)+3(2^2+(-1{)}^2)+8(2-(-1\left)\right)]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}-3+9+24]\\ & =\pi [-\frac{33}{5}+30]\\ & =\frac{117}{5}\pi \end{array}$$Jadi, volumenya adalah $\frac{117}{5}\pi$ satuan volume.
(Jawaban A)

3.Jika daerah yang diarsir pada gambar berikut diputar mengelilingi sumbu-

$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume.

A. $10\frac{2}{3}\pi$                    D. $12\frac{11}{15}\pi$
B. $12\frac{2}{15}\pi$                  E. $14\frac{2}{3}\pi$
C. $12\frac{4}{15}\pi$

Pembahasan

Pertama, kita tentukan dulu titik potong kedua kurva dengan cara menyamakan fungsinya.
$\begin{array}{cc}x& =x\\ y+2& =y^2\\ y^2-y-2& =0\\ (y-2)(y+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $y=-1$ atau $y=2$.
Dari gambar yang diberikan, daerah arsir terbatas pada interval $[0,2]$.
Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^2(x_{\text{atas}}^2-x_{\text{bawah}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^2\left(\right(y+2{)}^2-\left(y^2{)}^2\right)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^2\left(\right(y^2+4y+4)-y^4)\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{3}{y}^3+2y^2+4y-\frac{1}{5}{y}^5]}_0^2\\ & =\pi \left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3+2(2{)}^2+4(2)-\frac{1}{5}(2{)}^5)\\ & =\pi (\frac{8}{3}+8+8-\frac{32}{5})\\ & =\pi \left(\frac{40+240-96}{15}\right)\\ & =\frac{184}{15}\pi =12\frac{4}{15}\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $12\frac{4}{15}\pi$ satuan volume.
(Jawaban C)

4.Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva 

$x-y^2+1=0$, $-1\le x\le 4$, dan sumbu-$X$, diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\frac{1}{2}\pi$                    D. $12\frac{1}{2}\pi$
B. $9\frac{1}{2}\pi$                    E. $13\frac{1}{2}\pi$
C. $11\frac{1}{2}\pi$

Pembahasan

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x=-1$ dan $x=4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu-$X$ pada selang $[-1,4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^4{y}^2\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^4(x+1)\text{d}x\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{x}^2+x]}_{-1}^4\\ & =\pi [\left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2+4)-\left(\frac{1}{2}\right(-1{)}^2+(-1))]\\ & =\pi \left[\right(8+4)-(\frac{1}{2}-1)]\\ & =\pi (12+\frac{1}{2})=12\frac{1}{2}\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $12\frac{1}{2}\pi$ satuan volume.
(Jawaban D)

5.Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva 

$y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\frac{2}{3}\pi$
B. $8\pi$                         E. $2\frac{1}{3}\pi$
C. $3\frac{2}{3}\pi$

Pembahasan

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2& =2x\\ x^2-2x& =0\\ x(x-2)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=0$ atau $x=2$.
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0,2]$.
[diputar terhadap sumbu-$Y$]
$y=x^2\iff x^2=y$
$y=2x\iff x=\frac{y}{2}\iff x^2=\frac{y^2}{4}$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_1^2-x_2^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{y^2}{4})\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{12}{y}^3]}_0^4\\ & =\pi \left[\frac{1}{2}\right(4^2-0^2)-\frac{1}{12}(4^3-0^3\left)\right]\\ & =\pi [8-5\frac{1}{3}]=2\frac{2}{3}\end{array}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $2\frac{2}{3}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Daftar Pustaka :

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-volume-benda-putar-menggunakan-integral/