Program Linier

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

CONTOH SOAL

1.    Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a.    24
b.    32
c.    36
d.    40
e.    60
PEMBAHASAN:
-    x + y ≤ 8
ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)
ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)
-    x + 2y ≤ 12
ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)
ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)
Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:

Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:

subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8
x + 4 = 8
x = 4 .... (4, 4)
Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:
f(x, y) = 5x + 4y
-    titik A (0, 6)
      5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24
-    titik B (4, 4)
      5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36
-    titik C (8, 0)
      5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40
Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.
JAWABAN: D

2.    Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12, 4x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ...

a.    I
b.    II
c.    III
d.    IV
e.    I dan III
PEMBAHASAN:
-    Daerah hasil 2x + 3y ≤ 12 adalah area II dan III
-    Daerah hasil  4x + y ≥ 10 adalah area III dan IV
Maka, yang mencakup keduanya adalah area nomor III
JAWABAN: C

3.    Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut ...

a.    30
b.    26
c.    24
d.    21
e.    18
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambar:

-    Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12
-    Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12
Titik potong garis p dan q adalah:

subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12:
2x + 3.12/5 = 12
2x = 12 – 36/5
2x = 60/5 – 36/5
2x = 24/5
x = 24/10 = 12/5 .... titik B (12/5, 12/5)
Nilai dari fungsi obyektif  3x + 5y adalah:
-    Titik A (0, 6)
      3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30
-    Titik B (12/5, 12/5)
      3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2
-    Titik C (6, 0)
      3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18
Jadi, nilai minimumnya adalah 18
JAWABAN: E

4.    Nilai minimum fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah  ...

a.    4
b.    6
c.    7
d.    8
e.    9
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambar berikut:

Ingat ya, rumus persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah: ax + by = a.b, maka:
-    Persamaan garis p = 4x + 2y = 4.2 = 4x + 2y = 8 = 2x + y = 4
-    Persamaan garis q = 3x + 3y = 3.3 = 3x + 3y = 9 = x + y = 3
Selanjutnya, kita cari titik potong garis p dan q, yaitu di titik B:

subtitusikan x = 1 dalam x + y =3
1 + y = 3
y = 2 .... B(1, 2)
kita cari nilai dari fungsi obyektif  f(x, y) = 3x + 2y:
-    Titik A (0, 4)
     3x + 2y = 3.0 + 2.4 = 8
-    Titik B (1, 2)
      3x + 2y = 3.1 + 2.2 = 7
-    Titik C (3, 0)
      3x + 2y = 3.3 + 2.0 = 9
Jadi, nilai minimumnya adalah 7
JAWABAN: C

5.    Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah ...
a.    -19
b.    -6
c.    -5
d.    -3
e.    23
PEMBAHASAN;
-    –x + y = 1
Jika x = 0, maka y = 1 ... (0, 1)
Jika y = 0, maka x = -1 ... (-1, 0)
-     x + 2y = 5
jika x = 0, maka y = 5/2 ... (0, 5/2)
jika y =0, maka x = 5 ... (5, 0)
-    2x + y = 10
Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0)
Mari kita gambar daerah hasilnya:

-    Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya:

     2.3 + y = 10
     6 + y = 10
     y = 4 ... titik A (3,  4)
Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5
-    Titik B adalah titik potong antara  –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya:

      x + 2.2 = 5
      x + 4 = 5
      x =1 ... titik B (1, 2)
Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3
-    Titik C (5, 0)
Maka, nilai obyektif  fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23
Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5
JAWABAN: C

Metode Pembuktian Matematika

Metode Pembuktian Matematika ada 4 Yaitu :

1.Pembuktian Langsung

2.Pembuktian Tidak Langsung

3.Pembuktian Dengan Kontradiksi

4.Induksi Matematika

1.Pembuktian Langsung

Metode ini didasarkan pada proposisi bahwa: Jika kita misalkan (asumsikan) P bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari p; kita harus membuktikan bahwa q benar.

Contoh 1

Diketahui bahwan bilangan ganjil Karenan bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulat n2= (2k+1)2= 4k2+ 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil Jadi n2 bilangan ganjil

Contoh 2

Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa AB + AC > MB + MC

Pembahasan :
Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC.

Maka kita peroleh:

AB + AC = AB + AN + NC > BN + NC = BM + MN + NC > BM + MC

2. Pembuktian Tidak Langsung

Metode pembuktian tidak langsung dikenal juga metode kontrapositif.Perhatikan bahwa pernyataan ini p → q ≡ ~q → ~p
Oleh karena itu, kita akan memahami bahwa metode ini didasarkan pada proposisi: jika kita misalkan ~q bernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari ~ q kita harus membuktikan bahwa ~p Benar

Contoh 1

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisi nya.Misalnya :p = n2 bilangan ganjil q = n bilangan ganjil

Apakah p →q benar ?Kita akan periksa apakah ~q →~p benar ?Andaikan n  bukan bilangan ganjil, maka n bilanga ngenap, sehingga n dinyatakan dengan sebagain = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2= (2k)2= 4k2= 2(2k2). Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwan bukan bilangan ganjil BENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR. Jadi implikasi p →q benar, ini berarti n2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil

3.Pembuktian dengan Kontradiksi

Metode ini hampir sama dengan metode pembuktian tidak langsung, akan tetapi terdapat perbedaan yang cukup mendasar. Untuk membuktikan bahwa p →q benar dengan metode kontradiksi maka:

>> Kita andaikan bahwa ingkaran dari p →q adalah benar. Dengan kata lain bahwa kita mengandaikan bahwa p dan ~q adalah sesuatu yang benar

>> Dari pengandaian tersebut, kita harus memunculkan suatu kontradiksi atau suatu fakta yang bertentangan dengan suatu fakta lain yang sebelumnya telah dikatahui kebenarannya

Contoh 1

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2= (2k)2n2= 4k2n2= bilangan bulat genap (~p) Terjadilah suatu kontradiksi: yang diketahui p benar, sedang dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

4.Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.

Contoh 1

Buktikan bahwa: “1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n” .

penjelasan :

Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2,(a).

P(1) benar,sebab1 = 1(b).

Apabila P(k) benar, yaitu apabila; 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) = k2,

maka1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2k-1 + 2k+1.

= k2+ 2k + 1= (k + 1)2 Sehingga P(k+1) benar

Soal Tentang Kisi Kisi PAT Matematika

Soal Perbandingan Trigonometri 

• Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ….

  

  

  

  

  

Pembahasan:

Gambar segitiga ABC yang sesuai pada soal adalah

Mencari panjang AC:

  

  

 

Mencari panjang AB:

  

  

Mencari besar sudut A:

  

  

  

  

  

  

Jadi, besar sudut A adalah 90o.

Jawaban: C

• Diketahui koordinat titik 

$A(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$.Koordinat kutub dari titik $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(4,{210}^{\circ })$                 D. $(5,{240}^{\circ })$ 
B. $(2,{240}^{\circ })$                 E. $(4,{225}^{\circ })$
C. $(2,{225}^{\circ })$

Diketahui: $x=y=-2\sqrt{2}$
Koordinat kutubnya berbentuk $(r,\theta )$, dengan
$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2}\\ & =\sqrt{(-2\sqrt{2}{)}^2+(-2\sqrt{2}{)}^2}\\ & =\sqrt{8+8}=4\end{array}$
dan
$\begin{array}{cc}& \tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=1\\ & \Rightarrow \theta ={45}^{\circ }\vee {225}^{\circ }\end{array}$
Karena titik $A$ berada di kuadran III (nilai $x$ dan $y$ negatif), maka $\theta ={225}^{\circ }$. 
Jadi, koordinat kutub dari $A(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$adalah $(4,{225}^{\circ })$
(Jawaban E)

•   Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah 
  

         A . 30°  .       B.  40° .   C .330 °

         C. 300°.    D.  400° .  E . 430°

 Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni 

$-{30}^{\circ }$.
Karena satu putaran sama dengan ${360}^{\circ }$, maka $-{30}^{\circ }$ sama dengan $(360-30{)}^{\circ }={330}^{\circ }$
Jadi, besar sudutnya adalah ${330}^{\circ }$
(Jawaban C )

•   Besar sudut 7 2∘

${72}^{\circ }$ sama dengan $\cdots \text{rad}$
A. $\frac{1}{5}\pi$                   C. $\frac{2}{3}\pi$                  E. $\frac{5}{6}\pi$               
B. $\frac{2}{5}\pi$                   D. $\frac{3}{4}\pi$                 

 Ingat bahwa 

$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{72}^{\circ }& ={72}^2\times \frac{\pi }{{180}^5}\text{rad}\\ & =\frac{2}{5}\pi \text{rad}\end{array}$
Jadi, besar sudut ${72}^{\circ }$ sama dengan $\frac{2}{5}\pi \text{rad}$
(Jawaban B)

Soal Sudut Berelasi

• Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !

sin 20°
tan 40°
cos 53°

JAWABAN :

sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°

• Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Jawab :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

•   Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari 

$\frac{tan(x+{110}^{\circ })}{2cot(x+{20}^{\circ })}$

Jawab :
tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

akibatnya
$\frac{tan(x+{110}^{\circ })}{2cot(x+{20}^{\circ })}=\frac{-cot(x+{20}^{\circ })}{2cot(x+{20}^{\circ })}=-\frac{1}{2}$

•   Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari 

$\frac{sin{100}^{\circ }-cos{190}^{\circ }}{cos{350}^{\circ }-sin{260}^{\circ }}$

Jawab :
sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :
$\frac{sin{100}^{\circ }-cos{190}^{\circ }}{cos{350}^{\circ }-sin{260}^{\circ }}=\frac{cos{10}^{\circ }-(-cos{10}^{\circ })}{cos{10}^{\circ }-(-cos{10}^{\circ })}=\frac{2cos{10}^{\circ }}{2cos{10}^{\circ }}=1$

•  Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !

tan 143°
sin 233°

Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Soal aturan sinus cosinus dan luas segitiga

Di sebuah museum terdapat miniatur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 4 meter dan membentuk sudut 30o di puncaknya. Luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah ….

  A.       40 dm2

  B.       80 dm2

  C.       400 dm2

  D.       800 dm2

  E.       4.000 dm2

Jawabanya : 

Jadi, luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah

L = 1/2 X 4 X 4 X Sin 30°

L =  1/2 X 4 X 4 X 1/2

L = 4 m2 = 400 dm2

Jadi jawabanya adalah C

• Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC  = 6. Tentukan panjang BC !

 

 

$\frac{BC}{sin{45}^{\circ }}=\frac{6}{sin{30}^{\circ }}$

BC = $\frac{6\times sin{45}^{\circ }}{sin{30}^{\circ }}$
BC = $\frac{6\times \frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$
BC = 6√2

Jadi, panjang BC adalah 6√2

• Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut

 Jawab :

$\frac{8}{sin\theta }=\frac{4\sqrt{6}}{sin{60}^{\circ }}$

sin θ = $\frac{8\times sin{60}^{\circ }}{4\sqrt{6}}$
sin R = $\frac{8\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}$ (rasionalkan)
sin R = $\frac{1}{2}$√2

⇒ θ = 45°

Jadi, besar sudut θ adalah 45°

• Tentukan x dari segitiga berikut !
  

 Jawab :

Dengan aturan cosinus :
x² = 4² + 6² − 2. 4. 6. cos 60°
x² = 4² + 6² − 2. 4. 6. $\frac{1}{2}$
x² = 28
x = $\sqrt{28}$ = 2√7

Jadi, nilai x adalah 2√7

• Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika ∠Q = θ, tentukan θ !

 Dengan aturan cosinus :

(√7)² = (1)² + (2√3)² − 2. 1. 2√3. cos θ
7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
4√3. cos θ = 6
cos θ = $\frac{6}{4\sqrt{3}}$ (rasionalkan)
cos θ = $\frac{1}{2}$√3
⇒ θ = 30°

atau

cos θ = $\frac{1^2+(2\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{7}{)}^2}{2.1.2\sqrt{3}}$
cos θ = $\frac{1+12-7}{4\sqrt{3}}$
cos θ = $\frac{6}{4\sqrt{3}}$ (rasionalkan)
cos θ = $\frac{1}{2}$√3
⇒ θ = 30°

Soal Persamaan Trigonometri 

 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 2x + sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...

A.  {60°, 120°, 150°}
B.  {60°, 150°, 300°}
C.  {90°, 210°, 300°}
D.  {90°, 210°, 330°}
E.  {120°, 250°, 330°}

Pembahasan :
cos 2x + sin x = 0
1 - 2sin²x + sin x = 0
2sin²x - sin x - 1 = 0
(2sin x + 1)(sin x - 1) = 0
sin x = -1/2  atau  sin x = 1

sin x = -1/2,  0 ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
K.III     →  x = 180° + 30° = 210°
K.IV     →  x = 360° - 30° = 330°

sin x = 1,  0 ≤ x ≤ 360°
             →  x = 90°

Jadi, HP = {90°, 210°, 330°}

Jawaban : D

•  Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 3cos x - 1 = 0 pada 0 ≤ x ≤ 360° adalah ...

A.   {60°, 120°}
B.   {60°, 240°}
C.   {60°, 300°}
D.   {120°, 240°}
E.   {120°, 300°}

Pembahasan :
cos 2x + 3cos x - 1 = 0
(2cos²x - 1) + 3cos x - 1 = 0
2cos²x + 3cos x - 2 = 0
(2cos x - 1)(cos x + 2) = 0
cos x = 1/2  atau  cos x = -2

cos x = -2  →  tidak mempunyai solusi

cos x = 1/2,  0 ≤ x ≤ 360°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
K.I    →  x = 60°
K.IV  →  x = 360° - 60° = 300°

Jadi, HP = {60°, 300°}

Jawaban : C

 

• Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...

A.   {0°, 20°, 60°}
B.   {0°, 20°, 100°}
C.   {20°, 60°, 100°}
D.   {20°, 100°, 140°}
E.   {100°, 140°, 180°}

Pembahasan :
0° ≤ x ≤ 180°  →  0° ≤ 3x ≤ 540°

2cos 3x = 1
cos 3x = 1/2,  0° ≤ 3x ≤ 540°
Cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.
K.I    → 3x = 60°  atau  3x = 60° + 1(360°) = 420°
K.IV → 3x = 360° - 60° = 300°

3x = 60°    →  x = 20°
3x = 420°  →  x = 140°
3x = 300°  →  x = 100°

Jadi, HP = {20°, 100°, 140°}

Jawaban : D

•   Himpunan penyelesaian dari persamaan 2cos²x + 5sin x - 4 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah ...

A.   {30°, 150°}
B.   {30°, 300°}
C.   {60°, 150°}
D.   {60°, 300°}
E.   {150°, 300°}

Pembahasan :
2cos²x + 5sin x - 4 = 0
2(1 - sin²x) + 5sin x - 4 = 0
2 - 2sin²x + 5sin x - 4 = 0
2sin²x - 5sin x + 2 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 2) = 0
sin x = 1/2  atau  sin x = 2

sin x = 2  →  tidak mempunyai solusi

sin x = 1/2,  0° ≤ x ≤ 360°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I     →  x = 30°
K.II    →  x = 180° - 30° = 150°

Jadi, HP = {30°, 150°}

Jawaban : A

 

Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ...
A.   {30°, 150°}
B.   {60°, 120°}
C.   {30°, 60°, 150°}
D.   {60°, 90°, 120°}
E.   {60°, 120°, 150°}

Pembahasan :
cos 2x - sin x = 0
(1 - 2sin²x) - sin x = 0
2sin²x + sin x - 1 = 0
(2sin x - 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2  atau  sin x = -1

sin x = 1/2,  0° ≤ x ≤ 180°
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
K.I     →  x = 30°
K.II    →  x = 180° - 30° = 150°

sin x = -1,  0° ≤ x ≤ 180°
(tidak ada nilai x yang memenuhi untuk 0° ≤ x ≤ 180°)

Jadi, HP = {30°, 150°}

 {Jawabanya adalah A }

Soal Grafik Trigonometri 

Diketahui fungsi . Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….

  A.       3

  B.       6

  C.       12

  D.       18

  E.       36

Pembahasan:

Diketahui fungsi f(x):

  

Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .

Nilai maksimum = a, maka

  

  

Nilai minimum = b, maka

  

  

Jadi, nilai a2 + b2 adalah

  

  

  

  

Jawaban: B

•  Grafik

$F(x)=2\cos x$ memotong sumbu-$X$ di titik berkoordinat $\cdots \cdot$
A. $({30}^{\circ },0)$              D. $({90}^{\circ },0)$
B. $({45}^{\circ },0)$              E. $({180}^{\circ },0)$
C. $({60}^{\circ },\mathrm{0)}$

 Apabila grafik memotong sumbu-

$X$, maka nilai $f\left(x\right)=y=0$. Dengan demikian,
$f\left(x\right)=2\cos x\Rightarrow 0=2\cos x\iff \cos x=0$
Nilai $x$ yang membuat $\cos x$ bernilai 0 adalah ${90}^{\circ }$.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat $({90}^{\circ },0)$
(Jawaban D)

• Diketahui 

$f\left(x\right)=\cos x+3$ dengan $0\le x\le 2\pi$. Daerah hasil fungsi $f\left(x\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3\le f\left(x\right)\le 3$              D. $0\le f\left(x\right)\le 3$
B. $-2\le f\left(x\right)\le 2$              E. $2\le f\left(x\right)\le 4$
C. $-1\le f\left(x\right)\le 1$

Pembahasan

Agar $f\left(x\right)=\cos x+3$ mencapai maksimum, maka $\cos x$ haruslah sebesar-besarnya, yaitu $\cos x=1$. Untuk itu,
$f_{\text{maks}}\left(x\right)=1+3=4$
Agar $f\left(x\right)=\cos x+3$ mencapai minimum, maka $\cos x$ haruslah sekecil-kecilnya, yaitu $\cos x=-1$. Untuk itu,
$f_{\text{min}}\left(x\right)=-1+3=2$
Jadi, daerah hasil fungsi $f\left(x\right)$ adalah semua nilai (bilangan real) dari $2$ sampai $4$, atau secaramatematis ditulis $2\le f\left(x\right)\le 4$
(Jawaban E)

   

•  Nil ai minimum 

$f\left(x\right)=2\sin (x–\frac{\pi }{3})+1$ adalah$\cdots \cdot$
A. $-3$                      C. $-1$                   E. $3$
B. $-2$                      D. $1$            

Pembahasan

Nilai minimum $f\left(x\right)=2\sin (x–\frac{\pi }{3})+1$tercapai ketika $\sin (x-\frac{\pi }{3})$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\sin (x-\frac{\pi }{3})=-1$. Untuk itu,
$f_{\text{min}}\left(x\right)=2(-1)+1=-1$
Jadi, nilai minimum $f\left(x\right)$ adalah $-1$
(Jawaban C)

• Fungsi 

$f\left(x\right)=2–5\sin \frac{\pi x}{6}$ untuk $-5\le x\le 1$mempunyai nilai maksimum $p$ di titik $x=q$. Nilai $p+q=\cdots \cdot$
A. $7$                      C. $5$                     E. $3$
B. $6$                      D. $4$           

Pembahasan

Agar $f\left(x\right)=2–5\sin \frac{\pi x}{6}$ , nilai $\sin \frac{\pi x}{6}$haruslah sekecil mungkin (negatif). Karena nilai minimum sinus adalah $-1$, maka dalam hal ini
$\begin{array}{cc}\sin \frac{\pi x}{6}& =-1\\ \sin \frac{\pi x}{6}& =\sin \frac{3\pi }{2}\\ \frac{\pi x}{6}& =\frac{3\pi }{2}\\ \pi x& =9\pi \\ x& =9\end{array}$
Nilai $x$ yang diperoleh berada di luar interval sehingga tidak memenuhi.
Di kasus lain,
$\begin{array}{cc}\sin \frac{\pi x}{6}& =-1\\ \sin \frac{\pi x}{6}& =-\sin \frac{\pi }{2}\\ \frac{\pi x}{6}& =-\frac{\pi }{2}\\ \pi x& =-3\pi \\ x& =-3\end{array}$
Nilai $x=-3=q$ ini memenuhi interval yang diberikan. Ini berarti, nilai maksimum $f\left(x\right)$adalah
$\begin{array}{cc}f(-3)& =2-5\sin \frac{\pi (-3)}{6}\\ & =2-5(-1)=7\end{array}$
Jadi, nilai $p+q=7+(-3)=4$
(Jawaban D)

• Egha Ramdhani (11) X IPS 3